数值分析：从标量到向量：非线性系统挑战

从单个方程 $f(x)=0$ 过渡到多变量系统，是解决复杂工程问题（如轨道力学、土体结构分析）的关键。我们不再寻找直线上简单的零点，而是寻找在 $n$ 维空间中 $n$ 个超曲面同时相交的点。

1. 数学结构

非线性系统可表示为一组方程，其中每个分量函数均依赖于未知向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^t$：

$$f_1(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$f_2(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$ $$\vdots$$ $$f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0,$$

我们将此简化为向量形式的核心公式：

$$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$

其中 $\mathbf{F} = (f_1, f_2, \dots, f_n)^t$。各个函数 $f_i$ 被称为 $\mathbf{F}$ 的 坐标函数 的坐标函数。

2. 分析基础与连续性

为实现这些系统的数值求解，我们必须确保映射行为良好。定义 10.1–10.3 表明，$\mathbb{R}^n$ 中的极限与连续性由 分量方式决定。

定义 10.3

设 $\mathbf{F}$ 是从 $D \subset \mathbb{R}^n$ 映射到 $\mathbb{R}^n$ 的函数。若且仅若：

$$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f_i(\mathbf{x}) = L_i$$ 对每个 $i=1, \dots, n$ 成立。

利用 $\epsilon-\delta$ 定义：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta$ 时，总有 $\|\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| < \epsilon$。

易错点：范数独立性

关键细节：尽管可以使用多种范数（$\ell_1, \ell_2, \ell_\infty$），但 连续性与具体选择无关。在 $\mathbb{R}^n$ 中，极限的存在性对任何向量范数都保持不变。

3. 理论回顾

定理 1.6： 对于从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数，连续性通常可通过证明可微性来确立。在多元情况下，若坐标函数的偏导数存在且有界，则可保证连续性，这是迭代求解器的前提条件。

经典例题：例 1

考虑土体上圆形板的问题。将 $3 \times 3$ 非线性系统置于标准形式 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$：

$3x_1 - \cos(x_2 x_3) - \frac{1}{2} = 0$
$x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin x_3 + 1.06 = 0$
$e^{-x_1 x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0$

此处，$\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^t$，且 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x}))^t$。

问题 1

已知向量映射 $\mathbf{F}(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 2x_3, x_1 \cos x_2, x_2^2 + x_3)^t$，为何 $\mathbf{F}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 的每一点都连续？

因为它是一个线性映射，而所有线性映射都是连续的。

因为每个坐标函数 $f_i$ 都是基本连续函数（多项式和余弦）的和或积。

因为雅可比矩阵的行列式为常数。

因为它将 $\mathbb{R}^3$ 映射到 $\mathbb{R}^3$ 的一个闭合有界子集。

问题 2

以下哪个函数 $\mathbf{F}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 在除点 $(1, 0)$ 外处处连续？

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (x_1 - 1, x_2)^2$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (\sin(x_1 - 1), \cos x_2)$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = \left(\frac{1}{x_1 - 1}, \frac{x_2}{x_1^2 + x_2^2}\right)$

$\mathbf{F}(x_1, x_2) = (e^{x_1}, e^{x_2})$

问题 3

当评估非线性系统的连续性时，若将向量范数从欧几里得范数（$\ell_2$）更改为最大范数（$\ell_\infty$），这对向量序列的收敛性有何影响？

序列可能现在发散，因为最大范数更不敏感。

收敛性得以保持，因为在有限维空间中所有向量范数都是等价的。

极限值 $L$ 会随范数缩放而改变。

序列在 $\ell_1$ 范数下比在 $\ell_2$ 范数下收敛更快。

问题 4

牛顿法通常用于非线性系统。然而，若将其应用于线性系统 $Ax = b$（其中 $A$ 非奇异），结果如何？

该方法失败，因为线性系统的雅可比矩阵未定义。

该方法退化为高斯消元法，需要 $n$ 次迭代。

该方法从任意初始猜测出发，恰好一次迭代即可达到精确解。

该方法振荡且永不收敛，除非 $x_0 = b/n$。

问题 5

在定义 $F(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限时，条件 '0 < ‖x - x_0‖ < δ' 代表什么含义？

我们正在精确计算函数在 $x_0$ 处的值。

我们考虑的是一个去心邻域，即 $x_0$ 本身被排除在极限计算之外。

到原点的距离必须小于 $\delta$。

系统必须是线性的，极限才可能存在。